Zagadka matematyczno-logiczna

Dodane: 5 grudnia 2012, w kategorii: Nauka

Na Joggerze ostatnio moda na zagadki (niewątpliwie najlepszą jak dotąd zadał n3m0), więc wypada się przyłączyć. Przyłączam się poniższą zagadką – mam nadzieję, że dostatecznie mało znaną, by nie trafił się nikt wtajemniczony, choć jak znam życie, to pewnie wyskoczą trzy osoby w ciągu pięciu minut;-).

Pewien robot (raczej nie ten z obrazka) postanowił sprawdzić, czy Trurl i Klapaucjusz faktycznie są takimi geniuszami, za jakich uchodzą. Pomyślał więc sobie dwie liczby naturalne, większe niż jeden i mniejsze niż sto, a następnie szepnął Trurlowi na ucho, jaki jest ich iloczyn, a Klapaucjuszowi, ile wynosi ich suma. Konstruktorzy chwilę pomyśleli, po czym przeprowadzili taki oto dialog:

TRURL: Nie wiem, co to za liczby.
KLAPAUCJUSZ: Wiedziałem, że nie wiesz.
TRURL: Skoro tak, to już wiem.
KLAPAUCJUSZ: Zatem i ja już wiem.

Jakie to liczby?

I bonusowa zagadka dla humanistów: skąd zapożyczyłem ww. postacie i kto jest autorem rysunku ilustrującego wpis?

(znających rozwiązanie głównej zagadki uprasza się o niezdradzanie go przedwcześnie)

Podobne wpisy

Komentarze

1.
5 grudnia 2012, 20:17 zammer
W podstawówce jeszcze (za starych dobrych czasów, kiedy szkoły jeszcze nie kształciły lemingów) mieliśmy zadanie o Kowalskim i Malinowskim. Jeden ma trzech synów, zapodaje parę informacji na ich temat (suma ich wieku jest równa liczbie okien w tym bloku – oczywiście nie wiadomo ile okien ma ten blok; najmłodszy ma na imię Jaś i temu podobne informacje). Pytanie było o wiek poszczególnych synów jednego z panów. Teoretycznie nie da się tego wyliczyć, ale to nieprawda, bo jeśli „już wiem”, to znaczy, że istnieje tylko jedno rozwiązanie. Następnie w prosty sposób się je wyznaczało :)

Zagadka bonusowa to chyba dla… Ekhem, nie chcę tu nikogo obrazić. No stary, Lema się czytało ;) Obrazek chyba jest z google’owskiego doodle’a, ale tu głowy nie dam.
2.
5 grudnia 2012, 20:22 Cichy
Kurde no, zagadka z rysunkiem miała być podchwytliwa, a tu już pierwszy komcionauta nie dał się złapać;-).
3.
5 grudnia 2012, 20:24 zammer
Coś takiego mi się kojarzyło, ale jak napisałem – głowy nie dawałem, bo nie chciało mi się nawet szukać i sprawdzać ;) Zresztą, ktoś chyba na joggerze nawet pisał o tym doodle’u, że taki fantastyczny i animowany, ach i och :)
4.
5 grudnia 2012, 20:28 Cichy
Zgadnij kto;-). Ale to było dobry rok temu, więc nie sądziłem, że tak łatwo się skojarzy.
5.
5 grudnia 2012, 21:28 ibrahim
Zagadka wydaje się nie do rozwiązania :) aczkolwiek rozpoznanie skąd pochodzi, nie zajęło wiele czasu (jakieś parę milisekund ;))
6.
5 grudnia 2012, 21:30 zammer
Nie trzeba szukać, nie trzeba wpisywać w google, nie trzeba przekopywać się przez zbiory zadań z matematyki. Wystarczy zwykła dedukcja, Watsonie :P Iloczyny, sumy, liczby … (autocenzura – żeby nie było podpowiedzi)
7.
5 grudnia 2012, 21:39 ibrahim
Ok:
Mamy dwie liczby, t oraz k. Trurl zna ich iloczyn: t*k=A, Klapaucjusz zna ich sumę: t+k=B. Czy A=B? Tego nikt nie wie, oprócz robota. Wiemy też, że t oraz k zawierają się gdzieś między 1 a 100.
W tym momencie następuje dziwna dyskusja. Ale dla pobocznego słuchacza nic z tej dyskusji nie wynika. Bo jak mam wywnioskować liczby?
Trurl tych liczb nie zna, po czym je poznaje, gdy Klapaucjusz potwierdza jego niewiedzę.
Nie potrafię tego rozwikłać :)
8.
5 grudnia 2012, 21:44 zammer
Liczby pierwsze – coś już świta? Jeśli po krótkiej wymianie zdań znają już rozwiązanie, znaczy że trzeba jeszcze pokombinować z liczbą możliwych rozwiązań i… ;)
9.
5 grudnia 2012, 21:44 lRem
Oj, sporo z tej dyskusji wynika.

Chwilowo udało mi się ograniczyć do 11 możliwości. Coś kurde musiałem przeoczyć albo poszedłem w krzaki :/
10.
5 grudnia 2012, 21:51 ibrahim
Czyli iloczyn t*k nie może być liczbą pierwszą, bo liczby pierwsze to takie których t lub k byłoby 1, co jest niezgodne z założeniami (liczby > 1)?
Trochę to zawęża odpowiedź, ale wtedy poprawną odpowiedzią jest np. (2,9) – bo dlaczego nie?
11.
5 grudnia 2012, 21:53 zammer
W złą stronę idziesz, ale kombinuj dalej. „Dlaczego nie” niestety nie prowadzi do rozwiązania.
12.
5 grudnia 2012, 22:02 ibrahim
No to czekam na odpowiedź :) Dalej nie zajdę, zbyt mało informacji w tej zagadce…
13.
5 grudnia 2012, 22:04 Radek
Kombinowałbym tak:
Jest dużo par liczb, które mają ten sam iloczyn. Np 34=26
Klapaucjusz dostał sumę i wiedział, że Trurl nie wie. Czyli Klapaucjusz wiedział, że to któryś z tych przypadków.
Niestety dość dużo ich. Przykładowo 3,6 i 4,5 mają tą samą sumę, a ich iloczyny (18 i 20) nie definiują jednoznacznie pary liczb.
Więc czegoś mi tu brakuje…
14.
5 grudnia 2012, 22:04 Radek
@ibrahim, gdyby iloczyn był liczbą pierwszą, to jedna z nich musiałaby być 1, a to niemożliwe.
15.
5 grudnia 2012, 22:07 n3m0
2 też jest liczbą pierwszą…
16.
5 grudnia 2012, 22:08 Radek
ale gdyby iloczyn był 2 to jedyna opcja to 1 i 2. A wiemy, że liczby są >1.
17.
5 grudnia 2012, 22:13 Caladan
Tylko dla pary liczb (2,2) oraz (99,99) wynik sumowania jest w zbiorze niepowtarzalny bo odpowiednio minimalny i maksymalny. Wszystkie pozostałe się powtarzają. Coś takiego?
18.
5 grudnia 2012, 22:14 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
A czemu wynik sumowania ma być niepowtarzalny?
19.
5 grudnia 2012, 22:17 hcz
Obie liczby nie mogą być liczbami pierwszymi, bo inaczej Trurl od razu znałby odpowiedź.
20.
5 grudnia 2012, 22:29 Caladan
@lRem: Ogólnie mamy do rozwiązania układ równań. Problem w tym, że mamy za dużo niewiadomych, bo i iloczyn, i sumę i same liczby. (2,2) i (99,99) są jedynymi rozwiązaniami będącymi pojedynczymi punktami. Pozostałe rozwiązania to zbiory punktów, których to nawet dokładnie wyznaczyć nie można, bo suma i iloczyn są tak samo nieznane.
21.
5 grudnia 2012, 22:31 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
@Caladan: w kilkanaście minut doszedłem do tego, że sumy jest tylko 11 możliwości…
22.
5 grudnia 2012, 22:31 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
Wróć, nawet 9, tylko ostatnich dwóch nie było po co uwzględniać w programie ;)
23.
5 grudnia 2012, 22:32 n3m0
Fakt, że Klapaucjusz WIE, że Trurl nie wie, znaczy, że Klapaucjusza suma składników jest taka, że iloczyn tych składników można przedstawić na więcej niż 1 sposób (2,3,4).Czyli, że liczba złożona ma 2,3, itd dzielników.
Jednocześnie Klapaucjusz jeszcze nie zna liczb, więc są co najmniej dwa (dokladnie dwa) takie przypadki.
Ale gdy Klapaucjusz mowi, że WIE, że Trurl nie wie, to zawęża Trurlowi pole na tyle, że już wie. Czyli fakt, że Klapaucjusz na podstawie swoich składników sumy może wydedukować, że Trurl ma więcej opcji (nie wie), sprawia, że Trurl wie – czyli miał do wyboru dwa przypadki
– suma składników wskazywała na to, że Trurl wie (dwa dzielniki)
– suma składników wskazywała na to, że Trurl nie wie (więcej niż dwa).
Jako, że Klapaucjusz powiedział że wie (że Trurl nie wie), Trurl mógł pierwszą opcję wyrugować, co zostawiło go jedynie z drugą.
A to z kolei wyeliminowało jedną z opcji Klapaucjusza.

Tu się przegrzewam, o ile dobrze myślę.
24.
5 grudnia 2012, 22:34 n3m0
A, były dokładnie dwie opcje Klapaucjusza bo wiedza Trurla wyeliminowała jedną z nich i Klapaucjusz też wiedział.
25.
5 grudnia 2012, 22:39 ibrahim
IRem: Jak do tego doszedłeś? :)
26.
5 grudnia 2012, 22:45 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
@ibrahim: suma nie może być sumą dwóch liczb pierwszych i musi być mniejsza od 55 (para 53 i 2 jest jednoznaczna). To zostawia nam zbiór liczb {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51}. Poniekąd jedenaście. Dalej robi się weselej…
27.
5 grudnia 2012, 22:46 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
Powinienem chyba iść spać. Gubię liczby nawet przy kopiuj-wklej. Dodaj do tego zbioru 53.
28.
5 grudnia 2012, 22:54 ibrahim
I tak nie rozumiem, skąd to ograniczenie do 55.
No trudno, nie bawię się w to więcej, Jego Makaronowatość pozbawiła mnie inteligencji widocznie.

Powodzenia :)
29.
5 grudnia 2012, 23:01 n3m0
A gdyby tak: Trurl ma iloczyn, który może rozłożyć na iloczyn liczby pierwszej i złożonej bądź dwóch liczb złożonych. Wskazówka Klapaucjusza, że ten wie, że Trurl ma dylemat (czyli że tam jest liczba pierwsza), pokazuje Trurlowi, którą możliwość ma odrzucić (tą bez liczby pierwszej).

?
30.
5 grudnia 2012, 23:02 lRem
A co do „czemu nie 2 i 9”:

2 * 9 = 18, alternatywny rozkład to 3 * 6 z sumą 9 poza tym zbiorem, więc rzeczywiście Trurl by się dowiedział.

Ale, taką samą sumę daje para 4 i 7, alternatywny rozkład 14 i 2, suma też poza zbiorem, Trurl znowu by się dowiedział.

Ergo Klapouchy odszedłby z niczym.
31.
5 grudnia 2012, 23:17 lRem
Jeśli rzeczywiście jest tylko jedno rozwiązanie, to je chyba mam. Ale nie chce mi się jechać przez resztę spektrum, żeby dochodzić, czy jeszcze o czymś nie pomyślałem.

Wyniki $ echo blabla$x | md5sum dla x równego po kolei jednej i drugiej liczbie:

4988fb8697927704827836ebb73d7488

69f7f1ed91718f15df6f23f0963ec947

Nie mogę się doczekać eleganckiego dowodu…
32.
5 grudnia 2012, 23:18 n3m0
Każdy z nich ma dwie opcje, przy czym Klapaucjusz ma pewność, że Trurl ma więcej niż jedną.
33.
5 grudnia 2012, 23:39 lRem
Było ni było, najlepsza z dotychczasowych zagadek.

Doprowadziła mnie również do tego, że idiomatyczny zapis sita Erastotenesa w Pythonie jest trochę dziwny:
```
for i in xrange(5, 100):
    for p in primes:
        if i % p == 0:
            break
    else:
        primes.append(i)
```
34.
6 grudnia 2012, 00:22 zammer
O rety, ależ nastukaliście… Ja tu się odmóżdżam totalnie, więc proszę o wybaczenie, że nie czytam komentarzy – dacie radę ;)

Chodzi generalnie o sprawdzenie, żeby iloczyn tych liczb nie był iloczynem liczb pierwszych, a następnie o sprawdzenie, która suma jest najniższą i dającą tylko jedno rozwiązanie jednocześnie iloczynem… No mniej więcej tak to wygląda, kiedy człowiek jest pijany lekkuchno :)

Pozdrowienia, Wola zawsze z Legią, mimo że na Stegnach chleję obecnie z kibicem Widzewa. Fraternizacja pełną gębą, że tak powiem, szal szalem, a brat bratem :D
35.
6 grudnia 2012, 09:58 lRem
@zammer: czemu najniższą?
36.
6 grudnia 2012, 10:04 n3m0
Ja już dociekłem. Wkurwiająca zagadka :] Pechowo, że na noc, spać nie mogłem ;)
37.
6 grudnia 2012, 13:38 Radek
Dlaczego nie 4 i 7? Iloczyn to 28, a suma 11.

TRURL:Nie wiem, co to za liczby.

Nie wie, bo to może być 2,14 albo 4,7.

KLAPAUCJUSZ: Wiedziałem, że nie wiesz.

Powiedział tak, bo wie, że nie ma takich liczb, które mają sumę 11, a iloczyn jednoznacznie określa co to za liczby. Ma więc pewność, że Trurl po samym iloczynie nie zgadł.

TRURL: Skoro tak, to już wiem.

Powiedział tak, bo druga opcja (2,14) ma sumę 16, a dla tej sumy mamy pary 3,13 i 5,11, które po iloczynie można odgadnąć liczby. Gdyby więc to była ta opcja, Klapaucjusz nie mógłby powiedzieć „wiedziałem, że nie wiesz”, bo nie miałby takiej pewności.

KLAPAUCJUSZ: Zatem i ja już wiem.

Skoro już wykluczył 2,14, to zostało tylko 4 i 7.

Niestety podobne rozumowanie można przeprowadzić dla pary 4 i 14, więc pewnie gdzieś popełniłem błąd.
38.
6 grudnia 2012, 14:03 Remigiusz 'lRem' Modrzejewski
Ostatnia wypowiedź nie zachodzi, bo jest więcej opcji z sumą 11, gdzie Trurl by się dowiedział (spójrz na mój wcześniejszy komentarz). W szczególności, Kłapouchy nie miał skąd się dowiedzieć, że Trurlowi chodzi o pary (2, 14) i (4,7), musiałby znać przecież iloczyn…

Zagadka matematyczno-logiczna

Podobne wpisy

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi