Narysuj czworokąt. Jakikolwiek, może być nawet wklęsły.
Zaznacz środek każdego z boków.
Połącz po kolei te środki.
Uzyskana w ten sposób figura zawsze będzie idealnym równoległobokiem. Zawsze.
Nie wierzysz? Sprawdź, przeciągając wierzchołki myszą:
(Aplet HTML5 może nie działać, jeśli czytasz ten wpis w czytniku RSS lub w badzIEwnej przeglądarce)
Zagadka, jak już się chyba każdy domyślił, brzmi: dlaczego tak się dzieje? Podpowiem, że ma to związek z twierdzeniem pewnego starożytnego Greka;-).
Oj, nie dowodziłem niczego z tej broszki parę ładnych lat, ale dla czworokąta wypukłego dowód [aka wytłumaczenie ;)] na kolanie mam. Numerując wierzchołki po kolei 1..4 otrzymujemy sytuację, gdzie wierzchołki 1,2,3 tworzą kąt z 2 jako wierzchołkiem, a jednocześnie 1-3 tworzą podstawę trójkąta. Owa podstawa jest równoległa do linii łączącej połowy odcinków 1-2 oraz 2-3 na mocy twierdzenia pewnego Greka, ponieważ oba odcinki [podstawa i utworzony] są fragmentami prostych, odkładających z założenia na ramionach kąta 123 odcinki o jednakowych proporcjach [1:1]. Analogicznie dowodzimy dla trójkąta 134, z czego „poprzez” równoległość podstawy do obu odcinków wywodzimy równoległość odcinków 12-23 oraz 34-41. QED. Uzasadnienie dla czworokąta wklęsłego i „kokardki” zostawiam innym :)
Jarosław Rzeszótko
Niestety szkoła wydaję się uczyć pojęć matematycznych w kolejności wg. odwrotności potencjalnej przydatności, ale dowodzi się tego wygodnie używając wektorów i łatwo wtedy zobaczyć dlaczego to prawda, jest to rozwiązane jako jedno z zadań tutaj:
@Jarosław Rzeszótko: Twierdzenie Talesa się spokojnie nada, a to wiedza szkolna. Wektory niby też, ale jakby wyższa szkoła ;)
Nie wiem czy rozwiązanie Torero jest prawidłowe, bo tak to zamotał, iż ciężko je zrozumieć. Podaję proste rozwiązanie:
Wystarczy zauważyć, że odcinek łączący dwa niezłączone wierzchołki czworokąta jest równoległy (to na podstawie twierdzenia Talesa), do obu nieprzecinających go, a interesujących nas odcinków (łączących te środki krawędzi). Mamy więc jedną parę równoległych boków, analogicznie postępujemy przy drugiej parze. Dwie pary równoległych boków dają równoległobok.
Nie wiem czy rozwiązanie Torero jest prawidłowe, bo tak to zamotał, iż ciężko je zrozumieć.
Co czytamy: „nie ogarniam, ale na wszelki wypadek przepiszę to samo jeszcze raz własnymi słowami, może nikt się nie zorientuje.”
Co czytamy: „nie ogarniam, (…)
A tak na prawdę: „ten Torero znowu nie umie jasno napisać i chyba on sam nie pewien, czy to dobre rozwiązanie (patrz ostatnie zdanie). Może specjalnie to tak zagmatwał? A w swoim gimnazjum to chyba nie miał nigdy geometrii”.
I tak mi zaimponowałeś, że byłeś w stanie podjąć się tego zadania, zważywszy twoje niektóre poprzednie wypowiedzi.
Ejdzej
Raczej żaden nie ma szans na trafienie do Księgi (zwłaszcza z niedziałającego URLa) :)
http://en.wikipedia.org/wiki/ProofsfromTHE_BOOK
Ejdzej
Hehe, przyganiał kocioł garnkowi:
http://en.wikipedia.org/wiki/ProofsfromTHE_BOOK
Ejdzej
F@$# po prostu wyguglajcie „Proofs from the Book”
Barry
Bawiąc się apletem wymyśliłem banalny dowód… indukcyjny.
Czworokąt ABCD, środki boków EFGH. E leży na AB itd.
Warunek początkowy: jakikolwiek, na przykład kwadrat (środki boków też dają kwadrat, mamy równoległobok).
Krok: Przesunięcie któregokolwiek z wierzchołków (dla ustalenia uwagi A) o X i Y powoduje przesunięcie wierzchołków znajdujących się na bokach AB i AD (E i H) o X/2 i Y/2. |EH| bez zmian, czyli nadal |EH|=|FG|. |EF| i |GH| zmieniły się o tyle samo, czyli nadal |EF|=|GH|. Mamy równoległobok.
Przesuwając po kolei wierzchołki, możemy osiągnąć dowolny czworokąt.
Jeśli szukasz czegoś konkretnego, skorzystaj z wyszukiwarki.
Jeśli nie bardzo wiesz, czego szukasz, możesz przejrzeć najlepsze wpisy lub archiwum.
Jeśli szukasz kontaktu z autorem, wyślij maila na adres
cichyfragles@gmail.com
